Non-linear Hardy Inequalities on Graphs
Viele Theorien aus den Naturwissenschaften beruhten vor einigen Jahren noch auf linearen kontinuierlichen Modellen, aber der Trend geht aktuell verstärkt zu nicht-linearen diskreten, sowie zu nicht-linearen Hybridmodellen. Daraus eröffnen sich eine Vielzahl an interessanten neuen Fragestellungen in der analytischen Graphentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich damit Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen dem Kontinuum und dem Diskreten zu entdecken und herauszuarbeiten. Ein Beispiel und Zentrum meiner Promotion ist, ob Hardy-Ungleichungen im nicht-linearen diskreten Fall die selben Eigenschaften haben, wie im Kontinuierlichen.
Die dominierende Frage bei Hardy-Ungleichungen ist die nach der Optimalität des zugehörigen Hardy-Gewichtes. Das bedeutet, dass die Ungleichung nicht verschärft werden kann. Die diesem Problem zugrundeliegende Theorie heißt Kritikalitätstheorie. Ein optimales Hardy-Gewicht ist hier kritisch, wenn es einen Phasenübergang darstellt und somit grundlegend unterschiedliche Phänomene erhalten werden, wenn das Gewicht nur leicht verändert wird.
Ziel meiner Promotion ist es Methoden zu finden, um optimale Hardy-Gewichte zu nicht-linearen diskreten Hardy-Ungleichungen zu konstruieren. Dabei ist zu betonen, dass neue Techniken entwickelt werden müssen, da die bestehende lineare Theorie nicht adaptiert werden kann.